.

Уменьшение диаметра проволоки при растяжении

Информация о материале

Обновлено: 02.04.2024, 14:26

Опубликовано: 02.04.2024, 09:36

Автор: DeniS

При растяжении проволоки ее длина увеличивается на 0,02%. На сколько процентов уменьшится диаметр проволоки? Коэффициент Пуассона = 0,3

Коэффициент Пуассона (μ или σ или ν)  показывает, во сколько раз изменяется поперечное сечение деформируемого тела при его растяжении или сжатии.

для абсолютно хрупкого материала коэффициент Пуассона равен 0,
для абсолютно упругого — 0,5.
для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3,
для резины он примерно равен 0,5.

Измеряется Коэффициент Пуассона в относительных единицах: мм/мм, м/м).

Решение:

σ = (ΔD/D) / (Δl/l)  = σ (Δl/l)

где:
D - диаметр
l - длина

процентное уменьшение диаметра

-ΔD/ D * 100 = σ (Δl/l) * 100

= 0,3 * 0,02 / 100 * 100

= 0,006

Рассчитать относительное изменение объема сплава золота в процентах при растяжении на 4 % . Коэффициент Пуассона = 0,42

Решение

Так как сплав золота растягивается, происходит процесс деформации при которой длина сплава увеличивается, а диаметр уменьшается.

Предположим, что образец имеет цилиндрическую форму

Исходная длина образца - L₀
Исходный диаметр образца - d₀
Последний диаметр - d_t
Последняя длина образца - L_t
Изменение в длине - ΔL = L_t -L₀
Изменение в диаметре - Δ d = d_t - d₀

L_t < L₀

d_t < d₀

Коэффициент Пуассона показывает отношение между поперечной деформацией (изменение диаметра) и продольной деформацией.

Формула коэффициента Пуассона:

      (d_t - d₀) / d₀
 σ =  -   ------------------   {1} 
         (L_t - L₀) / L₀  

Эту формулу можно преобразовать в:

Δd / d₀ = σ * ΔL / L₀     {2}

Объем цилиндра:

V = π * d² / 4 * L    {3}

Если мы возьмем логарифм с двух сторон функции {3} с основанием е:

lnV = lnπ + 2lnd - ln4 + lnL

Теперь нужно взять полный дифференциал этой функции и выйдет:

ΔV/V  = 2Δd/d + ΔL/L  {4}

Соединив формулы {2} и {4}, мы получим:

ΔV/V = -2 σ * ΔL/L₀ + ΔL/L₀

ΔV/V = (1-2σ ) * ΔL/L₀

ΔL/L₀ = ε_L

ΔV/V = (1 - 2σ) * ε_L

ΔV/V = (1 - 2 * 0.42) * 0.04 * 100 = 0.64

Определить относительное изменение объема стальной проволоки диаметром d=2 мм при растяжении ее силой F=1 кН. Коэффициент Пуассона равен 0,3.

Дано:

D = 2 мм
F = 1 кН
σ = 0.3
E = 200 ГПа. (Е - модуль Юнга для стали)

Решение 1

ΔV/V = (1 + ΔD/D )² * (1 + ΔL/L) - 1

Отбросив величины второго порядка малости, получим:

ΔD/D = 2 * ΔD/D + ΔL/L

Модуль Юнга:

E = F * L / (S * ΔL)

отсюда

ΔL/L = F / (E * S)

здесь S - площадь сечения не напряжённой проволоки.

Коэффициент Пуассона: 

σ = -L * ΔD / (D * ΔL), отсюда ΔD/D = -F* σ / (E*S)

После подстановки

ΔV/V = F*(1 - 2 * σ) / (E * S) =

= 4 * F * (1 - 2 * σ) / (3,14 * E * D²)

= 4 * 1000 * (1 - 2 * 0,3) / (3,14 * 2*10¹¹) * 0,002² = 6 *10^-3

Решение 2

относительное удлинение

ε = σ / E

так как растяжение происходит по одной оси, то

σ = σ(х) - k * σ(х) - k * σ(х) = σ(х) * (1 - 2*k)

закон Гука перепишется

ε = σ(х) (1 - 2*k)/E

ΔV/V = ε * S / S = σ(х) (1 - 2*k) / E

так как сигма (х) =F/S, то

ΔV/V = F * (1-2*k) / (SE)

ΔV/V = 4F * (1-2*k) / (пEd²)

= 6 *10^-3

Модули упругости для кварца нить: Юнга E: 7,3·10¹⁰   сдвига G, Па: 3,1·10¹⁰

Коэффициент Пуассона для кварцевого стекла: 0,17 

Коэффициент Пуассона для кварца: 0,07- 0,08